Jak na věc


rovnice o jedné neznámé příklady

Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

    Jak už bylo uvedeno, výpočet kořenů kvadratické rovnice pomocí vzorečku s diskriminantem je univerzální metoda fungující vždy, pro všechny kvadratické rovnice. Někdy se ale vyplatí znát i jiné metody řešení, zejména proto, že jsou rychlejší pro výpočet. Obecně se dají alternativními metodami počítat kvadratické rovnice, které mají buď koeficient b, nebo koeficient c nulový.
     Z jednoduchého zadání se nakonec vyklubal příklad, který nás pěkně potrápil nejen při úpravách rce, ale i při částečném odmocňování, vytýkání a krácení. To jsou ale dovednosti, které musíme stále v matematice ovládat při jakémkoliv tématu.
    Budeme-li řešit kvadratické rovnice v oboru reálných čísel, brzy zjistíme, že některé rovnice nebudou mít kořen. Jiné kvadratické rovnice budou mít kořen jen jeden a ostatní kvadratické rovnice budou mít kořeny právě dva. Kdy tyto případy nastanou a jak je rozlišit, si ukážeme dále.
    úvod : lineární rce : lineární nerce : kvadratické rce : kvadratické nerce : iracionální rce a nerce : rce s abs. hodnotou a parametry : rce vyšších řádů : soustavy : odkazy
    Protože obě strany rovnice jsou kladné, můžeme je obě odmocnit Pozor, odmocňování obou stran rce obecně není ekvivalentní úprava.Pouze v případě, jako je zde popsáno. a dostaneme:


Neekvivalentní úpravy a zkouška

    Oproti řešení lineárních rovnic budeme skoro všechny kvadratické rovnice, které budeme kdy řešit, upravovat do základního tvaru. Budeme totiž potřebovat znát koeficienty a, b a c. Pro řešení kvadratických rovnic existuje vzoreček, pomocí kterého vypočítáme případné kořeny každé rovnice, pokud tato rovnice reálné kořeny má. Vzorec si musíte zapamatovat velmi pečlivě. Řešení kvadratických rovnic se ve středoškolské matematice vyskytuje v různých tématech, a proto se vám bude hodit i v budoucnu.
    Podmínka o nenulovosti koeficientu a je nezbytná, neboť bychom jinak pracovali s lineárními rovnicemi, pro které platí trošku jiné zákonitosti a pro jejichž řešení se používají jiné postupy.
    Obecný zápis řešení lineární rovnice je x = −b/a , za podmínky, že a ≠ 0. Nulou totiž dělit nelze. Pokud si do uvedené rovnice dosadíme za a nulu, zjistíme, že takový zápis nedává smysl.
    . Důkaz platnosti tohoto vzorečku je založen na doplnění kvadratickéhotrojčlenu na čtverec a můžete jej nalézt v učebnici Charvát a kol. [3].
    nazveme každou rovnici, která se dá ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0, kde x je neznámá, a, b, c jsou koeficienty z oboru reálných čísel a a ≠ 0.
    Nejprve standardně určíme O a D. V zadání rovnice se ale vyskytují tři zlomky, které mají ve jmenovateli jednoduché lineární výrazy. Musíme tedy jejich nulové body vyřadit z definičního oboru. Proto:


Shrnutí postupu řešení kvadratických rovnic

     Odmocnina z 30 se už nedá částečně odmocnit. Navíc je toiracionální číslo, které nejde přesně vyčíslit, a proto ji nebudeme dáleupravovat a necháme ji ve vyjádření výsledku tak, jak je uvedeno.
    To je rovnice, v níž je b = 0, neboli má tvar ax2 + c = 0. Dá se řešit osamostatněním x2 na levé straně rovnice a následným "odmocněním obou stran rovnice".
    Řešíme-li kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel, můžeme postupovat obdobně jako při řešení v oboru reálných čísel. V oboru komplexních čísel máme navíc definovánu i odmocninu ze záporného reálného čísla, proto bude mít každá kvadratická rovnice alespoň jeden kořen. Někdy se setkáte i s tvrzením, že v komplexním oboru řešení má kvadratická rce právě dva kořeny.Záleží to na náhledu na tzv. dvojnásobný kořen (když D = 0), jestli jej bereme jako jeden kořen, nebojako dva kořeny o stejné hodnotě.
    Nyní začneme upravovat rovnici tak, abychom získali základní tvar. Nejprve celou rovnici vynásobíme všemi třemi lineárními výrazy z jmenovatelů, abychom se zbavili zlomků.


Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

     Ukázali jsme si řešení tří základních druhů kvadratických rovnic. Jak je vidět, pokud známe vzoreček, nic těžkého na tom není. Takže jediné problémy by mohly nastat při úpravě rce na základní tvar nebo při hledání řešení v jiném O než .
    Nejzajímavější část vzorečku je výraz . Druhá odmocnina je definovaná jen pro nezáporná reálná čísla, ale může obecně nabývat i záporných hodnot. Což v konečném důsledku znamená, že daná kvadratická rovnice nemá reálné kořeny.
     Zároveň, když se podíváme na vzorečky pro kořeny x1 a x2, můžete si všimnout, že se liší jen znaménkem před odmocninou. Vyjde-li nám výraz nulový, bude nulová i jeho odmocnina; pak nám vzorečky pro kořeny x1 a x2 poskytnou stejné výsledky a vyjde nám jen jeden kořen.
     Člen ax2 nazveme kvadratický člen, bx lineární člen a c absolutní člen kvadratického trojčlenu. Číslo a pak nazveme koeficient u kvadratického členu a číslo b koeficient u lineárního členu.

Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2019
200
12791
cache: 0024:00:00