Jak na věc


rovnice ctvrta trida

Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

    Podmínka o nenulovosti koeficientu a je nezbytná, neboť bychom jinak pracovali s lineárními rovnicemi, pro které platí trošku jiné zákonitosti a pro jejichž řešení se používají jiné postupy.
    Proměnná x se nachází na levé straně v součtu s 5. Kdybychom tedy od rovnice pětku odečetli, zůstalo by na levé straně pouze x a měli bychom vystaráno. Pojďme to zkusit.
    V tomto článku si ukážeme, co jsou to rovnice a jak je můžeme řešit. Kromě toho si zde uděláme malý úvod do lineárních rovnic a slovních úloh s rovnicemi.
    Nyní už máme rovnici připravenou k řešení, stačí pár kosmetických úprav. V běžné matematice se pro hledanou proměnnou (hledané číslo, zde cena jablka) namísto slova používá jedno písmeno, nejčastěji x. I my tedy napíšeme do naší rovnice „x“ místo „jablko“.
    nazveme každou rovnici, která se dá ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0, kde x je neznámá, a, b, c jsou koeficienty z oboru reálných čísel a a ≠ 0.


Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

    Jak už bylo uvedeno, výpočet kořenů kvadratické rovnice pomocí vzorečku s diskriminantem je univerzální metoda fungující vždy, pro všechny kvadratické rovnice. Někdy se ale vyplatí znát i jiné metody řešení, zejména proto, že jsou rychlejší pro výpočet. Obecně se dají alternativními metodami počítat kvadratické rovnice, které mají buď koeficient b, nebo koeficient c nulový.
    Dále ze zadání víme, že jsme koupili jablko a hrušku. Na levou stranu rovnice tedy napíšeme „jablko + hruška“ a vyjde nám následující rovnost:
     Ukázali jsme si řešení tří základních druhů kvadratických rovnic. Jak je vidět, pokud známe vzoreček, nic těžkého na tom není. Takže jediné problémy by mohly nastat při úpravě rce na základní tvar nebo při hledání řešení v jiném O než .
    Nejzajímavější část vzorečku je výraz . Druhá odmocnina je definovaná jen pro nezáporná reálná čísla, ale může obecně nabývat i záporných hodnot. Což v konečném důsledku znamená, že daná kvadratická rovnice nemá reálné kořeny.
    Řešení rovnic se v matematice často používá, když chceme zjistit nějaký údaj, ale známe o něm jen část informace. Jednoduchou rovnicí tak může být například úloha:
    Jelikož jsme prováděli umocňování, je nutné provést zkoušku. Zkoušku je dobré dělat ve všech případech, protože se tak ujistíte, že jste počítali dobře. Zkontrolujme tedy naše řešení:


Co jsou to ekvivalentní úpravy?

    Rovnici si také můžeme představit jako váhu, která musí být neustále v rovnováze. Např. rovnici x + 2 = 4 můžeme chápat jako váhu na jejíž pravé straně máme čtyři kilová závaží a na levé straně mámě dvě kilová závaží a nějaký sáček s kilovými závažími, jehož obsah neznáme. Při řešení rovnice hledáme, kolik kilových závaží je v tom sáčku. Tudíž chceme nějakým způsobem osamostatnit náš sáček. Toho dosáhneme, když z levé straně odebereme dvě kilová závaží. Při odebrání se ale pravá strana stane těžší a váha nebude v rovnováze. Proto musíme odebrat i dvě kilová závaží z pravé strany. Na váze nám tedy zůstane sáček a dvě kilová závaží (x = 2). Následující video nám toto ještě lépe vysvětlí:
    Kromě ekvivalentních úprav musíme u řešení rovnic někdy použít tzv. důsledkové úpravy. Při takovýchto úpravach se může stát, že dostaneme nějaké řešení navíc. Proto při použítí důsledkových úprav je nutné provést zkoušku. Typickým příkladem důsledkových úprav je umocňování sudou mocninou. Pro lepší pochopení se podívejme  na následjící příklad.
    Obecný zápis řešení lineární rovnice je x = −b/a , za podmínky, že a ≠ 0. Nulou totiž dělit nelze. Pokud si do uvedené rovnice dosadíme za a nulu, zjistíme, že takový zápis nedává smysl.
     Z jednoduchého zadání se nakonec vyklubal příklad, který nás pěkně potrápil nejen při úpravách rce, ale i při částečném odmocňování, vytýkání a krácení. To jsou ale dovednosti, které musíme stále v matematice ovládat při jakémkoliv tématu.


Kvadratická rovnice bez absolutního členu

    Mezi základní ekvivalentní úpravy patří tedy přičítání a odečítání hodnot od obou stran rovnice, násobení celé rovnice nějakou hodnotou a v některých případech i dělení celé rovnice nějakou hodnotou. Tyto úpravy musíme provést na obou dvou stranách rovnice. U násobení a dělení je nutné doplnit, že ta hodnota se nesmí rovnat 0. Poslední řádek tabulky zmiňuje fakt, že můžeme libovolně zaměňovat strany rovnice.
    Rovnici tedy můžeme psát jako „výraz 1 = výraz 2“ To znamená, že  5 + 2 = 10 – 3 je rovnice. Snadno si oba dva výrazy můžeme spočítat a dostat  7 = 7. Rovnice, kde se ve výrazech vyskytují jenom čísla, nejsou až tak zajímavé. Zajímavost, ale bohužel také určitou „obtížnost“ přinesou až proměnné vyskytující se aspoň v jednom výrazu rovnice (např. 2x + 7 = 3x – 15).
    . Důkaz platnosti tohoto vzorečku je založen na doplnění kvadratickéhotrojčlenu na čtverec a můžete jej nalézt v učebnici Charvát a kol. [3].
    Úloha tohoto typu je o něco složitější, protože se neptá na vzdálenost za 1 litr (jako předchozí, s jedním pomerančem), ale hned za tři. My si s ní ale krok po kroku lehce poradíme.
     Zároveň, když se podíváme na vzorečky pro kořeny x1 a x2, můžete si všimnout, že se liší jen znaménkem před odmocninou. Vyjde-li nám výraz nulový, bude nulová i jeho odmocnina; pak nám vzorečky pro kořeny x1 a x2 poskytnou stejné výsledky a vyjde nám jen jeden kořen.


Shrnutí postupu řešení kvadratických rovnic

    Nyní začneme upravovat rovnici tak, abychom získali základní tvar. Nejprve celou rovnici vynásobíme všemi třemi lineárními výrazy z jmenovatelů, abychom se zbavili zlomků.
    úvod : lineární rce : lineární nerce : kvadratické rce : kvadratické nerce : iracionální rce a nerce : rce s abs. hodnotou a parametry : rce vyšších řádů : soustavy : odkazy
    Protože obě strany rovnice jsou kladné, můžeme je obě odmocnit Pozor, odmocňování obou stran rce obecně není ekvivalentní úprava.Pouze v případě, jako je zde popsáno. a dostaneme:
     Odmocnina z 30 se už nedá částečně odmocnit. Navíc je toiracionální číslo, které nejde přesně vyčíslit, a proto ji nebudeme dáleupravovat a necháme ji ve vyjádření výsledku tak, jak je uvedeno.
    Řekli jsme si, že abychom zjistili kolik je x, musíme rovnici upravovat tak dlouho, dokud nám nezbyde x na jedné straně samotné. Podívejme se tedy, čeho všeho se potřebujeme zbavit.
    O této rovnosti víme, že platí; jablko s hruškou stojí dohromady 15 Kč. My ale ještě víme, že samotná hruška stála 5 Kč, proto do rovnice napíšeme místo „hrušky“ její cenu, tedy 5.


Metody řešení kvadratických rovnic ve speciálním tvaru

    Podíváme-li se na horní příklady důkladně, všimneme si, že u posledního máme nějaké písmenko x. Tomuto písmenku říkáme proměnná, jelikož si za něj můžeme dosazovat libovolná čísla. To číslo a tedy celý výraz se tak mění. V našem případě si to můžeme představit následovně:
    Řešíme-li kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel, můžeme postupovat obdobně jako při řešení v oboru reálných čísel. V oboru komplexních čísel máme navíc definovánu i odmocninu ze záporného reálného čísla, proto bude mít každá kvadratická rovnice alespoň jeden kořen. Někdy se setkáte i s tvrzením, že v komplexním oboru řešení má kvadratická rce právě dva kořeny.Záleží to na náhledu na tzv. dvojnásobný kořen (když D = 0), jestli jej bereme jako jeden kořen, nebojako dva kořeny o stejné hodnotě.
    Nyní víme, že na jeden litr nafty ujede auto 20 kilometrů. Už to přeci skoro máme hotové, chceme znát jenom 3 litry. Celou rovnici tedy stačí vynásobit třemi.
    Nejprve standardně určíme O a D. V zadání rovnice se ale vyskytují tři zlomky, které mají ve jmenovateli jednoduché lineární výrazy. Musíme tedy jejich nulové body vyřadit z definičního oboru. Proto:


Neekvivalentní úpravy a zkouška

    Obecně se rovnice skládá ze tří částí: levé strany rovnice, pravé strany rovnice a již zmíněného rovnítka (které je uprostřed). Právě rovnítko pak říká, že se levá a pravá strana rovnice rovnají.
    Budeme-li řešit kvadratické rovnice v oboru reálných čísel, brzy zjistíme, že některé rovnice nebudou mít kořen. Jiné kvadratické rovnice budou mít kořen jen jeden a ostatní kvadratické rovnice budou mít kořeny právě dva. Kdy tyto případy nastanou a jak je rozlišit, si ukážeme dále.
     Člen ax2 nazveme kvadratický člen, bx lineární člen a c absolutní člen kvadratického trojčlenu. Číslo a pak nazveme koeficient u kvadratického členu a číslo b koeficient u lineárního členu.
    Cílem takovýchto rovnic je najít proměnnou x, pro kterou napsaná rovnost bude platit. Můžeme tedy dosazovat různá čísla za x na levou a pravou stranu rovnice a simultálně kontrolovat, zda rovnost bude platit. Pro lepší pochopení se podívejme na následující tabulku:
    Zde můžeme naprosto logicky odvodit, že jablko stojí 10 korun, protože z celkových 15 Kč vezme 5 korun hruška a zbytek vychází na cenu jablka. Co ale když se ale na příklad podíváme matematicky? Pojďme to zkusit.


Kvadratická rovnice bez lineárního členu

    Rovnici si připravíme tím, že doprostřed řádku napíšeme rovnítko. Nejprve známe celkovou cenu nákupu, 15 Kč. Tu tedy napíšeme na jednu stranu rovnice, nejčastěji na pravou.
    Jak si jistě dokážeš představit, takovéto zkoušení může být velice zdlouhavé. Tudíž se nabízí otázka, zda nenajdeme nějaký univerzálnější postup než pouhé zkoušení. Než si ale tento postup ukážeme, je dobré se podívat na jeden konkrétní příklad.
    Oproti řešení lineárních rovnic budeme skoro všechny kvadratické rovnice, které budeme kdy řešit, upravovat do základního tvaru. Budeme totiž potřebovat znát koeficienty a, b a c. Pro řešení kvadratických rovnic existuje vzoreček, pomocí kterého vypočítáme případné kořeny každé rovnice, pokud tato rovnice reálné kořeny má. Vzorec si musíte zapamatovat velmi pečlivě. Řešení kvadratických rovnic se ve středoškolské matematice vyskytuje v různých tématech, a proto se vám bude hodit i v budoucnu.
    To je rovnice, v níž je b = 0, neboli má tvar ax2 + c = 0. Dá se řešit osamostatněním x2 na levé straně rovnice a následným "odmocněním obou stran rovnice".

Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2019
cache: 0000:00:00