Jak na věc


metoda nejmenších čtverců

GNSS RTK přijímač STONEX S900T s kontrolérem S4II - kompletní sada

    22 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.
    24 Proobecnýpřípadmnožiny nbodů [x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]jecenováfunkce S(a, b) = (ax i + b y i ) 2 aparciálníderivacejsou Protože rovnic ( ) S a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 a x 2 i + b x i x i y i, ( ) S b = 2 (ax i + b y i ) = 2 a x i + b 1 y i. 1 = } {{ + 1 } = n, získáváme nulováním parciálních derivací soustavu n-krát a + b x i = x i y i, a x 2 i x i + b n = y i. Po dosazení získáváme soustavu lineárních rovnic s neznámými a, b, kterou vyřešíme a získámekoeficientydorovnicepřímky y = ax + b. (2)
    6 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006


Interní baterie kompatibilní pro GNSS Stonex S8/S9/S9III/S9IIIplus

    Síť je vyrovnávána metodou nejmenších čtverců. Pro výpočet je použit propracovaný a ověřený algoritmus vyrovnání zprostředkujících měření, který je vyvíjen a testován na ČVUT Praha od roku 1982.Program umožňuje výpočet jakéhokoli typu vázané i volné sítě. Vázaná síť je umístěna do referenčního systému pomocí zadaných pevných bodů, jejich souřadnice se vyrovnáním nemění. Volná síť je umístěna pomocí Helmertovy transformace, buď na všechny, nebo na vybrané body sítě.Každému bodu můžete přiřadit dvě charakteristiky, které definují, jakým způsobem se bod bude podílet na vyrovnání a umístění sítě. Charakteristika bodu se zadává odděleně pro polohu a pro výšku, bod může tedy mít např. pevnou polohu a určovanou výšku.
    5 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
    9 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
    15 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární


Totální stanice Trimble C5 colibri, 6cc

    23 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.
    Modul je určen pro polohové i výškové vyrovnávání geodetických sítí metodou nejmenších čtverců. Je plně integrován do prostředí systému GROMA, ovládá se stejným způsobem, jako všechny ostatní výpočetní úlohy systému GROMA. Údaje lze libovolně přetahovat myší ze seznamů souřadnic i seznamů měření. Data lze přímo dávkově načíst ze seznamu měření, přeneseného z totální stanice, bez nutnosti jakéhokoli ručního zadávání.


Totální stanice Foif RTS105R5 s USB portem a SD kartou

    12 2 Vzorec Přímku proloženou metodou nejmenších čtverců hledáme za použití následující věty. K jejímu odvození je možné využít parciální derivace, jak je ukázáno ve dvou posledních kapitolách tohoto souboru, na straně 21. Studenti kteří jsou si jistí, že parciální derivace nemají v náplni svého kurzu(například LDF, 1. ročník), by toto odvození číst neměli. Věta[prokládání souboru bodů přímkou]. Přímka y = ax + b je přímka, proložená metodounejmenšíchčtvercůsouborembodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],..., [x n, y n ],jestližepro koeficienty a, b platí a + b x i = x i y i, a x 2 i x i + b n = y i. (1) c Robert Mařík, 2006
    13 3 Příklad použití Problém: Proložte přímku následujícím souborem bodů. x i y i y x Řešení:Bodyvsouborujsou [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2]a[6, 1].Celkemtedymámepětbodů, tj. n = 5. Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě provedeme v následující tabulce.
    16 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární


Numerická matematika - domácí program - metoda nejmenších čtverců

    26 5 Otázky pozorného čtenáře Pozorný čtenář si všiml, že jsme hledání lokálního extrému cenové funkce S(a, b) poněkud odbyli a napadnou ho hned dvě otázky. Našlijsmestacionárníbodyfunkce S(a, b).kdejevšakdokázáno,žesejednáominimum? Ano, otázku zda ve stacionárním bodě skutečně nastává extrém a jaký jsme neřešili. Z povahy úlohy je totiž zřejmé, že nějaká optimální přímka bude existovat a protože nám vyšel jediný stacionární bod, jedná se právě o toto optimální řešení, tj. minimum cenové funkce. Má nalezená soustava(2) skutečně řešení?(vím, že řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých existovat nemusí, nebo jich může být nekonečně mnoho.) Podrobnější rozbor ukazuje, že případ kdy řešení systému(2) není určeno jednoznačně nebo neexistuje nastane pokud všechny body mají stejnou x-ovou souřadnici. Toto je zcela zřejmě případ, který zůstává stranou rozumných aplikací této metody. V praktických případech je tedy jednoznačná řešitelnost systému(2) zaručena.
    11 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. Tahle přímka je optimální. Jak ji najít? c Robert Mařík, 2006
    1 Metoda nejmenších čtverců. Robert Mařík 22. ledna 2006 Obsah 1 Motivace a geometrický význam 2 2 Vzorec 12 3 Příklad použití 13 4 Odvození vzorce 21 5 Otázky pozorného čtenáře 23 c Robert Mařík, 2006


Našli jste lepší cenu? Modul Vyrovnání sítí MNČ?

    27 5 Otázky pozorného čtenáře Pozorný čtenář si všiml, že jsme hledání lokálního extrému cenové funkce S(a, b) poněkud odbyli a napadnou ho hned dvě otázky. Našlijsmestacionárníbodyfunkce S(a, b).kdejevšakdokázáno,žesejednáominimum? Ano, otázku zda ve stacionárním bodě skutečně nastává extrém a jaký jsme neřešili. Z povahy úlohy je totiž zřejmé, že nějaká optimální přímka bude existovat a protože nám vyšel jediný stacionární bod, jedná se právě o toto optimální řešení, tj. minimum cenové funkce. Má nalezená soustava(2) skutečně řešení?(vím, že řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých existovat nemusí, nebo jich může být nekonečně mnoho.) Podrobnější rozbor ukazuje, že případ kdy řešení systému(2) není určeno jednoznačně nebo neexistuje nastane pokud všechny body mají stejnou x-ovou souřadnici. Toto je zcela zřejmě případ, který zůstává stranou rozumných aplikací této metody. V praktických případech je tedy jednoznačná řešitelnost systému(2) zaručena.
    20 Graf souboru bodů a výsledná přímka jsou zachyceny na obrázku. y 5 y = ax + b x Obrázek 1: Metoda nejmenších čtverců
    8 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
    19 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x = Nejlepší lineární
    4 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. c Robert Mařík, 2006


Třídy odhadů robustní statistiky

    14 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
    21 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2019
200
19607
cache: 0024:00:00