Jak na věc


funkce rostoucí

Prezentace na téma: "Rostoucí, klesající, konstantní"— Transkript prezentace:

    Mnohočleny Násobení Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Kamila Kočová. Dostupné z Metodického portálu ISSN: 1802–4785,
    Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a nazýváme každou část funkce, která je dána rovnicí: Dostupné z Metodického portálu ISSN: 1802–4785,
    Předpokládáme, že se vám tato prezentace líbila. Chcete-li si ji stáhnout, doporučte prosím tuto prezentaci svým přátelům v kterékoli sociální síti. Tlačítka jsou dole. Děkujeme.
    Definici funkce si můžete podrobněji zopakovat na stránkách věnovaným funkcím. Následující vlastnosti funkcí jsou vztaženy k celému definičnímu oboru funkce.
    Konstatní funkce se definuje zcela jednoduše: x1 ≠ x2  f(x1) = f(x2­). Funkce neklesající a neroustoucí se definují podobně jako klesající a rostoucí – funkce je neklesající, pokud je na daném intervalu rostoucí anebo konstatní, což dává definicix1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) a obdobně pro nerostoucí: x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2­).


Rostoucí, klesající, konstantní

    Pokud bychom se drželi pojmu zobrazení z množiny A do množiny B, pak vězte, že množina A jest definičním oborem a množina B se nazývá obor hodnot.
    Inverzní funkce je opačná funkce k nějaké jiné funkci. Zkrátka pokud původní funkce fzobrazuje prvky z množiny M do množiny N, pak inverzní funkce f−1 zobrazuje prvky z množiny N do množiny M. Pokud máme například lineární funkce y = 2× a y = ½x, jsou to navzájem inverzní funkce, neboť když do první rovnice dosadíme za x jedničku, vyjde nám y = 2. Pokud tuto dvojku dosadíme do druhé funkce, po dlouhém výpočtu nám z funkce vyleze jednička. První funkce zobrazuje 1 → 2 a druhá funkce 2 → 1. Na grafu se navzájem inverzní funkce projevují osovou souměrností podle osy prvního a třetího kvadrantu (jakoby grafu funkce y = x).
    Poznámka: Pokud vůbec netušíte, co je to funkce, přejděte raději na článek Co je to funkce, který se snaží co nejjednodušeji vysvětlit, co to funkce je.


Funkce rostoucí, klesající na omezeném definičním oboru

    Na tomto obrázku jsem vám naservíroval graf exponenciální funkce −(2x) + 1(zelená čára). Jak je vidět, funkce je to shora omezená, neboť jsme schopni nalézt vodorovnou přímku (to je ta hnědá čára), která bude nad grafem – celý graf se nachází pod touto přímkou. Povšimněte si prosím, že není nutné, aby nalezená přímka byla jakousi „nejbližší přímkou“, stačí prostě nalézt přímku jakkoliv vzdálenou od grafu, jež splňuje zadané podmínky. Pokud už ovšem takovouto přímku nalezneme (v tomto případě by to byla přímka y = 1), nalezli jsme supremum (pozor, supremum není přímo ta přímka, ale stále je to číslo, v tomto případě tedy jednička).
    Takže česky řečeno, pokud má být funkce prostá, každému x musí být přiřazeno jedinečné y, nemůže se stát, že by pro dvě různá x byla stejná funkční hodnota. Neboli – jak říká předchozí definice – pokud se rovnají funkční hodnoty, musí se rovat i jejich argumenty. Graficky se to dá poznat jako vždycky zcela jednoduše. Pokud položíte grafem přímku rovnoběžnou s osou x, musí protínat graf maximálně v jednom bodě. Příkladem prosté funkce je například lineární funkce y = 3×. Ať vezmete jakoukoliv přímku, vždy protne graf právě v jednom bodě. Opakem je třeba funkce sinus, jejíž graf tvoří jakési vlnky, takže pokud položíte přímku rovnoběžnou s osou xprotínající osu y v bodě 0,5, naleznete nekonečně mnoho průsečíků s grafem, tudíž to není funkce prostá.


Exponenciální, logaritmické funkce

    U každé funkce musíme také určit její definiční obor (značíme D(f)), což je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Jednoduchý příklad: f:y = x zde je definiční obor roven celé množině reálných čísel D(f) = R. Jiný příklad: f:y = 1 / x v tomto případě je definiční obor množina reálných čísel, ovšem tentokrát vyjma nuly, protože nemůžete dělit nulou, výraz by poté nedával smysl D(f) = R − {0}.
    Funkce mohou být omezené a to shora omezené, zdola omezené anebo jak shora, tak zdola – takové funkci prostě říkáme funkce omezená. Funkce f je shora omezená, pokud nalezeneme takové číslo A, pro které platí – pro všechna x z definičního oboru –f(x) ≤ A. Pokud je tedy funkce shora omezená, musíme najít číslo, které bude větší než všechny možné výsledky funkce, tedy větší než jakýkoliv prvek z oboru hodnot. Na grafu si to můžete představit takto – pokud najdete vodorovnou přímku a všechny body grafu se nacházejí pod touto přímkou, je funkce shora omezená.


Funkce s absolutními hodnotami

    Nejlépe jde tato vlastnost vyčíst z grafu, jestliže máte pocit, že graf klesá, jedná se o funkci klesající, roste-li funkce, je to funkce rostoucí. Jak prosté :-). Teď už jen zbývá matematické vyjádření. Funkce je rostoucí, pokud x1 > x2  f(x1) > f(x2) (tedy je-li první číslo větší než druhé, musí být i funkční hodnota prvního čísla větší než druhého). Naopak je klesající, jestliže x1 > x2  f(x1) < f(x2) (je-li první číslo větší než druhé, musí být funkční hodnota prvního menší než druhého).
    Některé funkce mohou být za jistých podmínek sudé anebo liché. Nejjednodušší je znát graf funkce, tam to lze poznat nejrychleji. Funkce sudá je totiž souměrná podle osy y, kdežto funkce lichá je souměrná podle počátku. Příklad sudé funkce může býty = x2 a liché prakticky nejjednodušší funkce y = x.
     Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny M přiřadí právě jedno y z množiny N. Funkce se dá také definovat jako zobrazení (na číselných množinách), což je předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), či ji můžeme vyjádřit explicitně f:y = x kde proměnná x je argument funkce.


Přihlásit se přes sociální síť:

    Matematicky se pak tyto vlastnosti zapíší takto: sudá funkce f(x) = f(−x) (funkce je sudá, jestliže funkční hodnota v x se rovná funkční hodnotě v −x). Lichá funkce:f(−x) = −f(x) (funkce je lichá, jestliže se funkční hodnota v −x rovná minus funkční hodnotě v x). x vždy vybíráme z definičního o­boru.
    Obor hodnot (značíme H(f)) je poté analogicky množina všech přípustných y, tedy množiny všech prvků, kam může ukazovat funkce f. Opět jednoduchý příklad: mějme funkci f:y = x. Zde je oborem hodnot množina R, protože y může dosahovat libovolné hodnoty z této množiny. Vezměme si ovšem další funkci f:y = |x| (absolutní hodnota). Tady již bude obor hodnot roven intervalu <0, +∞), protože se nikdy nemůže stát, že by se y rovnalo například minus pěti, protože to z definice absolutní není možné.


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2020
cache: 0000:00:00